浅谈数学学习中学生反思的培养
临城中学 王家丰
数学学习就是把客观的知识结构内化为自已头脑中的认知结构，内化需要感受、体验、交流、辨析和意义构建．因此，在数学学习中必须重视对知识形成过程的回顾与反思；“反思” 即人们对自己的认识和行为的内化过程，是对自己的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程。它是一种有效的学习方式。荷兰著名数学家、教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”可见，反思在数学学习过程中具有重要的地位和作用。对于中学生来说，培养他们良好的反思习惯尤为重要。因此，在教育教学中，我们要引导学生采用反思的方法进行学习，培养学生养成良好的反思习惯,使学生在反思中不断提高学习效果。那么，如何培养学生的反思，指导学生掌握反思的方法。针对这个问题，下面我就谈谈一些个人见解。
一、引导学生做好课堂简要摘记，确定反思内容。
要反思，就要有内容。所以学生就要先进行课堂简要摘记。课堂简要摘记给学生提供了反思的依据。学生也能从课堂简要摘记中更好的体验课堂所学习的内容，学生的学习活动也成了有目标、有策略的主体行为，可促使老师和学生进行探索性、研究性的活动。如:在讲全等三角形（第一课时），笔者这样引导学生做摘记：a.全等形、全等三角形的定义;b.全等三角形的性质,c.性质的应用等等课堂简要。有了课堂简要摘记，课后学生一看便能回忆起整节课的主要内容以及重点、难点。实践证明这种课堂简要摘记有对于学生温习功课大大节省时间，有利于学生在学习活动中获得个人体验，提高学习效益和个人的创造力，所以课堂简要摘记是学生进行反思的重要环节。
二、组织学生在课堂上进行多方位反思。
教学应留给学生思考、讨论、内化的空间，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。
1、 在解决问题中反思，掌握方法：解题是学习数学的必经之路，学生解决问题时，往往缺乏对解题过程的反思，没有对解题过程进行提炼和概括，只是为完成任务而解题，导致解题质量不高，效率低下。例如：（原例题)已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。笔者将此例题进行一题多变。变式1 已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。(这是考查逆向思维能力)；变式2 已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论) ； 变式3已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性)；变式4 已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围； 变式5 已知等腰三角形的腰长为X，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。(与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问的关键)； 通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；实践证明善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，这有利于提高学生解题能力和思维的发展。所以教师应积极引导学生整理思维过程，确定解题关键，回顾解题思路，概括解题方法，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。
2、 在集体讨论中反思，规范思想：“活动是感知的源泉，是思维发展的基础”。每个人都以自己的经验为背景来建构对事物的理解，所以认识相对有限；而集体讨论和交流能弥补各自的缺陷。例如：（1）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。（2）已知等腰三角形的腰长是3，底长为6；求周长。对于（1）大多数的学生都能说出一个答案4+4+6=14或者说6+6+4=16而突略其中另一个答案；对于（2）好多学生都以为有两个答案3+3+6=12与6+6+3=15实际上3，3，6不能够成三角形；笔者让学生通过集体讨论和交流，最后得出结论；实践证明这样学生可以了解同伴的思考方法，有利于丰富自己的思考方法和经验，规范自己的思想，反思自己的思考过程，增强迁移能力。所以要注重引导学生通过集体讨论、争辩，来促进个人反思，实现自我创新。
3、 在回顾知识获取时反思，提炼思想：在教学活动中，我们教师比较注重创设情境，引导学生通过操作实践、合作探究，主动获取知识。其实，在实际学习过程中，学生总是根据问题的具体情景来决定解题方法，这种方法受具体情景制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限，不易产生迁移。因此教师应该鼓励学生在获取知识后反思学习过程，引导他们在思维策略上回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想。如:《一元二次方程的解法——公式法》笔者先让学生回顾已经学过的用配方法解一元二次方程的步骤及方法，然后让学生试一试ax2+bx+c=0如何配方，从而获得解，最后笔者让学生反思这种解法它是怎样从特殊一般到性，反思整个过程，从而提炼出公式法。
4、 在分析解题方法中反思，体验优势：学生在解题时往往满足于做出题目，而对自己的解题方法的优劣却从来不加评价，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足问题，这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此，教师必须引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案。如在讲解运用抛物线来解决实际问题时，原题目：拱桥是抛物线形，当水面在L处时，拱顶离水面2M，水面宽4M，水面下降1M，水面宽度增加多少？题目中告诉我们拱顶离水面2米时，水面宽4米，问题是水面下降1米时水面宽度增加多少？学生们纷纷讨论；生一：水面下降1米，也就是水面离拱顶3米，求水面宽度。这个问题就是抛物线上两点之间的距离，只要求出抛物线上到抛物线顶点的距离是3米时点的横坐标就可以了。师：怎样才能求出拱桥抛物线的解析式？要求抛物线的解析式须建立平面直角坐标系，表示出一些点的坐标，那么坐标系应建在哪里？生二：我想把坐标系建立在水面上也就是横轴经过水面，纵轴经过顶点，再找三个点的坐标，（—2，0），（2，0），（0，2），设交点式就能解决；生三：我把坐标原点放在抛物线顶点，这样求抛物线是最简单，再找两个点的坐标，（2，—2），（—2，—2）；生四：我想把坐标系原点建立在水面与拱桥的交点处；我能找到三个点的坐标，（0，0），（4，0），（2，2）；生五：我想把坐标系建立在水面与拱桥的交点处；生六：我想把坐标系原点建立在水底；…….对于要利用图象解决实际问题，通常建立平面直角坐标系，建立坐标系的方法有利于表示点的坐标，求出解析式，如果建立坐标系不利于表示点的坐标,说明建立坐标方法不当,那么,哪一种方法更简便?通过这一评价过程，开阔学生的视野，使学生的思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展，在对问题本质的认识不断深化过程中提高学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构。
5、 在寻找错误成因中反思，提炼方法：学生在学习基础知识时往往不求甚解、粗心大意，忽视对结论的反思，满足于一知半解，这是造成作业错误的重要原因。结果常常出现不符合实际，数据出错等现象，特别是一些“隐性错误”发生频率更高。因此教师应当结合学生作业中出现的错误，精心设计教学情境，帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析作业错误的原因，给学生提供一个对基础知识、基本概念重新理解的机会，使学生在纠正作业错误的过程中掌握基础知识，理解基本概念，指导学生自觉地检验结果，培养他们的反思能力。 有这样一个的案例：一位初一的老师在讲完负负得正的规则后，出了这样一道题：—3×(—4)= ?， A学生的答案是“9”，老师一看：错了!于是马上请B同学回答，这位同学的答案是“12”，老师便请他讲一讲算法：……，下课后听课的老师对给出错误的答案的学生进行访谈，那位学生说：站在—3这个点上，因为乘以—4，所以要沿着数轴向相反方向移动四次，每次移三格，故答案为9。他的答案的确错了，怎么错的?为什么会有这样的想法?又怎样纠正呢?如果我们的例题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视。
6、加强题后反思，享受成功：课堂上讲解完题目后， 给时间让学生进行反思，让学生思考所讲的解题方法，并对反思的结果进行交流，互相学习，最好能说出自己的不同见解，不同解法。通过这样的引导，不断提高题后反思的能力和自觉性。例如在上完有关幂的性质，而进入下一阶段——单项式、多项式的乘除法时，笔者就设计了如下的两个例题： (1)请分别指出(—2)2，—22，—2-2，2-2的意义； (2)请辨析下列各式： ① a2+a2= a4 ②a4÷a2= a4÷2= a2 ③-a3 ·(-a)2 =(-a)3+2 =-a5 ④(-a)0 ÷a3=0 ⑤(a-2)3·a=a-2+3+1=a2 解后笔者便引导学生进行反思小结．(1)计算常出现哪些方面的错误? (2)出现这些错误的原因有哪些? (3)怎样克服这些错误呢? 同学们各抒己见，针对各种“病因”开出了有效的“方子”。实践证明，这样的例题教学是成功的，学生在计算的准确率、计算的速度两个方面都有极大的提高。
三、督促学生课后继续深化反思。
在学生有了题后反思的初步能力后．要求学生每人准备一个总结本,对学过的一节课进行课后小结。一节课下来，学生要静心沉思，抽些时间回顾所学的内容，摸索知识之间的一些规律 和自己在知识点上有什么发现； 解题的诸多误区有无突破；启迪是否得当；训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍。在这一过程中，教师一是引导学生对自己课堂学习的状况和学习的过程进行反思。比如让学生想一想、说一说本节课中哪些内容已经掌握，哪些问题尚不清晰，学习的过程展开有哪些主要的环节与步骤，涉及到哪些数学思想和方法等。引导学生开展自评、他评和互评，以唤醒学生学习的自我意识，激发他们的情感体验。
对一章进行章后总结引导学生写出具有一定特色,实用的小结。如可采用重点、难点、疑点等程序。也可把每一章的易错点总结出来，也可把一章的知识脉络梳理出来，还可以针对本章知识内容拟出一套检测题……这样做比老师讲复习提纲、出达标检测题学生做要好得多。学生在交流复习小结时参与的积极性和主动性都比较高,热情也很高,敢于大胆质疑，提出自己的想法。在这一过程中主要是引导学生对学习内容进行提升。这里的提升不只是对所学知识进行梳理，更重要的是对所学内容的方法、结构进行提炼，并且将当前的学习内容与以往的学习内容进行沟通。引导学生对学习内容进行质疑和拓展性思考。从知识内容的横向和纵向两方面进行联想和类推，从而产生一些新的猜想。在上述活动中，通过教师引导学生有目的地对学习过程、内容和方法等方面进行反思，促使学生的反思由自发向自觉转变，反思的能力逐步得到提高。
对作业中也要认真反思，尤其是在批改之后的作业，并要求学生仔细分析自己的对题和错题，写下自己的成功之处和不足之处，还可以写下自己的新思路和自己的创新。
四、帮助学生提高反思效果。
在引导学生反思时，如每次只是这样简单地做一做，学生很快就会有厌烦情绪，这就需要我们在每次引导学生这样做的时候，给与其足够的鼓励、启示和评价，让学生体会到自己这样做的好处，使他们在这样做的过程中，得到激励和启示，并在后面的学习中获得成功。如在平时，每次引导学生反思时，不妨大力表扬那些思考认真的同学，对一些同学能在反思的基础上提出问题的，就鼓励大家向他学习。要经常对学生说：只要是能在反思的情况下比以往有所进步，这就是最大的成功。让学生们感到自己在经过不断地反思后，能够不断地成功。能够经常地、认真地反思，那么学生就会在反思中真正领悟生活和学习的思想、方法，优化自己的认知结构，发展思维能力，培养创新意识。
一个人从接受知识到运用知识的过程，实际就是一个记与识，学与思的过程。学是思的基础，思是学的深化，这两者是密不可分的；正如人体的消化过程那样，只学不思，那是不加咀嚼，囫囵吞枣，举一而不能反三，那是未经消化吸收，所学知识无法化为“己有”；只有学而思之才能将所学知识融会贯通举一反三。反思是一种很好的学习方法，数学学习中只有不断反思才能掌握、巩固知识，并应用知识于实践中。