刍议“做数学” 

海南省教育研究培训院   李国良 

传统的数学课堂教学，仅仅给出了数学发现的最后结果，并没有给出数学发现的过程，学生学习数学就是记数学、练数学、考数学。教师只是教材的忠实执行者，这不利于学生的发展。而“做数学”作为数学学习的一种方法，其核心是由学生本人把要学的东西自己发现式地创造出来。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学。”研究也表明了这一观点：人们在学习时，如果仅靠听和看最多能吸收30％的新知，如果动手做的话，可以达到90％以上。

一、“做数学”的概念界定

“做数学”是指在课堂教学过程中把所学的数学知识作为一个问题解决的对象，让学生通过操作实验、合作探究，共享交流等一系列活动来主动构建数学知识。是引导学生经历猜测与证明，错误与尝试，检验与改进活动的过程。其基本特征是：强调将数学学习与儿童的生活联系起来，强调数学学习是儿童的一种发现、操作、尝试的主动实践活动，强调数学学习的探索性与体验性，强调数学学习也是一种认识现实世界的一般方法的学习，强调数学学习是群体交互合作与经验共享的过程。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔区分了两种不同的数学,即“现成的数学”和“做出来的数学”。所谓“现成的数学”即一种静态的数学观，是一个现成的产品．但从上个世纪六十年代起，在数学哲学领域内研究静态的数学观已逐步被动态的数学观所取代，数学主要被看成人类的一种创造性活动，包括“问题”与“命题”、“语言”与“方法”以及“观念”等多种成份。从这个意义上来说，“做数学”的理念是建立在动态的数学观基础之上。弗赖登塔尔还指出，“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生的机会就是所谓的运用……这不可能是真正的数学……学生唯一能做的事就是复制”，学生“所获得的只是一堆毫无意义的孤立的砖头”，而“数学的每次应用都是重新创造，这不可能通过学习现成数学来培养”，因此必须“将数学作为一种活动来解释和分析”，“将现成的数学转换成做出来的数学”，“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学”。可见引导学生“做数学”就是要让学生经历一个发现问题、提出问题、解决问题的探索过程，其实质是让学生对数学进行再创造，而最终目的是要让学生学会数学的思维。

二、“做数学”的教学意义

(一) 转变了“教”、“学”的方式以及“教教材”的观念

“做数学”是本次课程改革理念下的一种重要的学习方式，它与传统的“教数学”、“学数学”有所不同，它强调通过观摩、模仿、联想、猜想、尝试、检验等多种活动，动口、动脑、动手、动情，在“做”中经历数学，应用数学，创造数学。心理学分析表明：知识的获得是一种主动的认识活动，学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。正是这种“做数学”的理念在改善我们教师“教”与学生“学”的方式的同时也促进了教师“教教材”观念的转变。下面是我省儋州市东成中心校一年级王引老师所上的 “8和9的认识”的教学片断：

上课铃响后，王老师开门见山地说：“同学们，我们一起来数数挂图中的人和物，看谁能准确地把画中的人和物数出来，学生经过混杂的数过后，开始汇报：有的说“有8朵花，8个小朋友。”有的说“有8个大字。”、“9只蝴蝶。”、“有8名学生，1名教师，共9个人。”、“有9盆花。”……

老师给同学们充分地肯定后，又启发学生“用8和9说说我们身边的事”。

学生这下又沸腾起来了，你争我抢地说：

生1：我们组共有8个人。

生2：第一组和第二组合起来有8张桌子。

生3：我家母猪刚生下8只小猪。

生4：陈荣家的8只小猪和1只母猪合起来是9只猪。

……

在教学比较8和9的大小时，老师又巧妙地对教材进行处理，引导学生先用“点”来表示事物的数量，再由这些点抽象出数的符号：如8朵花、8个小朋友、8只小猪、有8棵树……都可用8个点来表示，把它记作“8”，9盆花、9本书、9个人……都可用9个点来表示，记作“9”。接着老师再让学生比较8和9的大小。由于学生经历了8和9形成的整个过程，所以学生在比较大小的过程中能说出很好的理由：“8排在9的前面，所以8就小。”“8朵花比9朵花少，所以8就小。”……“8有8个点，9有9个点，8个点比9个点少1个点，所以8就小。”……

过去很多老师都怕上“数的认识”这类内容的课，因为感到没什么好讲的。从这个教学片断来看，王老师善于抓住一年级小学生的心理特征，充分发挥教师的组织者、引导者、合作者的作用，创造性地使用教材，让学生在活动中“做数学”（体验数学、感悟数学、领会数学），从而改变了过去课堂教学过于强调接受学习，死记硬背，机械训练，缺乏主动参与的学习方式，培养学生交流与合作的能力和主动获取知识的能力。

(二)有利于学生创新意识和实践能力的培养

实验证明，通过学生自编作业题和设计开放性练习等“做数学”的活动，不仅能激发了学生的学习兴趣，而且还能有效地培养了学生创新意识和实践能力。如，在教学人教版第十册P106-107“分数的基本性质”后，我省农垦直属二小实验班邓权老师设计了一道：“写出与1/3相等的分数？”的练习题。要求学生在1分钟内完成，看谁写得最多。绝大部分的学生都在抓紧时间不停地写，尽量多写些，可有一位同学即只写一个与1/3相等的分数。后就得意洋洋地看着大家写。汇报时，许多同学都说出自己所写出的个数，那位同学就说：“我只写一个，但却可以表示出无数个与1/3 相等的分数。即 ” 并解释说：“1/3的分子分母同时乘相同的数ａ，它们的大小不变。其中ａ代表任何的一个数，所以可以表示无数个。”为此老师为他赞扬，同学为他鼓掌。之后，有同学马上站起来指出其错误的地方：“他的答案不全对，如果ａ是0，分母就是0，而分数的分母不能为0，要加上一个条件ａ不等于0。”所以与1/3相等的分数应该写同学们又为他的补充更热烈地鼓掌。实践证明，让学生在“做”中学习数学，有利于学生创新意识和实践能力的培养

(三) 使教学内容更具开放性、综合性和灵活性

“做数学”能使教学内容显得更具开放性、综合性和灵活性。有老师在教学新课程人教版一年级下册“图形的拼组”这一单元时，结合教材内容，给学生准备了长方形、正方形、三角形、圆等平面图形以及长方体、正方体等立体图形学具，让学生通过拼组活动把一些相同的平面图形拼成一些更大的图形，如用几个相同的长方形拼成一个大的长方形（或正方形）、用几个大小相同的三角形拼成一个六边形等等，学生通过这些“做数学”的活动，既初步感悟到平面图形分解与组合之间的转化关系，又感受到了几何美、数学美。

（四）能让课堂充满活力

有调查表明：传统数学课堂教学以“说数学”为主，即很多教师都热衷于老师问学生答的教学方式，这种“说数学”最突出的问题是学生主动参与学习的面窄，特别是面对我们目前很多地方还是大班制（人数超出60人以上）的今天,学生参与学习的程度有限，同时以个别人的正确回答代替多数学生的情况,对于学困生思维的发展极为不利，表面上秩序井然，实际上缺乏一种内在的活力，学生无兴趣可言，更谈不上创新精神、实践能力的培养。然而，“做数学”强调“让学生通过操作实验、合作探究，共享交流等一系列活动来主动构建数学知识。”如有老师在教学《确定位置》一课，结合学生已有经验和实际生活空间进行教学，突破教学难点，发展学生的个性。首先从学校开家长会，要求家长必须坐在自己孩子的座位上，这一实际情况入手，请学生模拟向家长介绍自己的位置。在这个“做数学”的活动中，学生认识了“行和列”。紧接着用“行和列”等新知识介绍好朋友的座位。最后运用所学知识解决生活中的实际问题——看电影，找座位。整个教学过程学生都在探索、体验和尝试等充满活力的气氛中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。在现实的问题情境之中，在解决问题的过程中探究发现数学知识，体验到生活中到处都有数学，数学就在我们身边，并学会运用数学知识较好地解决生活中的一些实际问题，从而增强学习的动力，产生积极的数学情感。可见“做数学”改变了过去枯燥、冷漠的数学课堂，激发了学生学习数学的兴趣，唤醒了积极的数学情感，把“玩”的权利交还给了学生，把“做”的任务派给了学生，把“说”的机会让给了学生，把“创”的使命交给了学生，从而课堂中充满了生命的活力。

三、“做数学”的实施策略

(一)转变“现成数学”的教学观

“现成数学”的教学观是“将数学作为一个现成的产品来教。”所以曾经听到一些老师这样抱怨：“我已经讲得非常清楚了，学生怎么还不懂？”同时也有一些老师这样抱怨：“这个题目没教过，学生当然不会做。”显然，前者的教师潜在的观念是教师清楚了，学生就应该懂了，教师讲清楚的题目，学生就应该能“复制”；后者的教师们则认为教师没教过，学生就不会。这两者共同的特点就是让学生学会“复制”。事实证明：这种“现成数学”的“复制”教学观，让学生“所获得的只是一堆毫无意义的孤立的砖头”。因为学生具有某种知识、能力的决定因素不是教师的“教”，而是学生自己的“学”，另外学生原有的知识和能力也不是一片空白的。所以教师要注重引导学生去从事数学活动，引导学生积极地去构建自己的数学知识体系和能力框架，围绕学生的“学”展开“教”，让学生通过操作实践、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考，使学生深刻的观察、想象、假设、推理、探究等高层次思维活动加入到教学过程中，让学生从游泳中学会游泳，加速学生潜在发展水平向实际发展水平转化。

（二）强化学生学习的行为、情感和认知

一些学生“用功”学习数学，投入时间很多，甚至考试成绩也不错，但用的方法却是“题海战术”等浅层次的学习行为，没具有深层次的学习取向。“做数学”就是让学生体验到，学数学，并不等于记数字、背数学、练数学，更应该是“做数学”。 建构主义学者认为，学习是主体在对现实的特定操作过程中对自己活动过程的性质作反省抽象而产生的，学习数学是一个“做数学”的过程。从数学课堂教学的角度来看，小学生数学学习是他们参与课堂教学的过程。要全面提高学生在知识、能力和品质方面的素质，体验深层次的数学学习，就要让学生从行为、情感、认知等多个方面投入于课堂教学过程中。如有老师在教学“两位数乘两位数”时，从学生熟悉的“时间”入手，提出“8月份有31天，这个月一共有几小时？”鼓励学生先猜测大约是几小时，再让学生自己独立探索算法。当学生用许多种方法算出正确答案后，老师再引导学生根据所花时间、气力和计算的简单程度等来比较，从而得出笔算中用乘法竖式计算比较简便的结论。通过这个“做数学”的过程，学生学到的不仅是简单的列式和计算，更重要的是学到了如何思考、比较的数学思想以及问题解决多样化的策略；不仅让学生感受了数学的价值，激发学生学习数学的情感，更重要的是通过学生主动建构知识的过程，强化了学习认知。

（三）注重体验“数学化”

学生在“做”中得到的体验是经验，是常识，还不是数学。因此，我们要逐步地抽象，提取与学习目标有关的本质特征，舍弃其非本质特征，再用数学的语言、符号表示出来，使之规范化、形式化，最后依据它们相互之间的关系进行整合，使之成为规范化的数学知识。如有老师教学“圆的认识”中“半径与直径的关系”时，在测量的基础上把数据列成表，让学生通过观察、比较，学生发现并用自己语言总结出半径和直经的关系后，老师再引导学生用数学的语言和符号进行总结：“在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，或者说半径的长度是直径的一半，即d＝2r,r＝1/2d（d表示直径，r表示半径）”。使经验和常识变成数学，提升“做数学”的功效。

(四) 尊重学生对思维方法的自主选择

对学生思维方法的尊重是促进学生高效能地“做数学”的重要因素。只要学生的思维正确，能说出自己的理由，我们就应该给予肯定，这样才能更好地促进学生积极地思考，创造性地解决问题。

如：有老师在教学方程时让学生做这么一道练习题：“X等于什么数时，3X-9的值大于12？”因为学生还没有学习不等式，一般学生都是根据求方程的解的步骤，再用还原的方法求解。如：

3X=12+9

3X=21

X>7

这时我们的教师并没有停留在这个答案上，而是让大家都说说自己是怎样想的，于是学生利用正迁移、推理等方法巧妙地解决了问题，说出了许多解法：

1. 在减法中，减数不变，被减数越大差越大。因此X >7。

2. X=7时，3X=12+9，所以X >7时，3X-9 >12。

……

因此，在“做数学”活动中，我们不能用单一的、局限的思维方式去限制学生，只有对学生思维和选择的尊重，注重创设这么一个环境，给学生一些数学信息，让他们自己去创造；给学生一个问题，让学生自己去寻找解决问题的答案；给学生一个冲突，让他们自己去展开讨论。才能使学生的思维在“做数学”中闪烁出智慧的火花。 

(五)注重激励性评价

在“做数学”活动中，教师要不失时机地对学生在学习过程中表现出来的自主性、主动性、独创性等主体精神和品质进行激励评价，使学生得到心理上的满足，体验到成功的快乐，以达到强化学习信心和提高主动获取新知识解决问题能力的目的。如有老师在教学“小王和小张同时从甲地到乙地，小王每分钟走50米，比规定时间迟到3分钟；小张每分钟走60米，比规定时间提前2分钟到达，两地的路程是多少米？”时，先让学生独立思考，结果有学生以小王从甲地到乙地的时间作标准，列出了正确的算式，老师给他们评价：“你们很厉害，这么难的题也能做。老师建议你们把标准量换一换再列式计算。”当学生们用第二种方法列出正确算式后，老师又鼓励他：“哇！你们真行！相信你们还能想出更加简便的算法！”结果当学生们又想出了第三种方法，但发现不是简便算法时，在老师的鼓励下最终想出了更加简便的算法。最后老师给他们的评价是“你们想的办法比老师的还多！还好！”。可见，教师激励性的评价，能有效地唤起学生的灵活思维，提升“做数学”的品位。

因此，运用激励性评价诱导学生深层次地去“做数学”要注重以下两点：第一，对学生进行独立探究、合作发现、实践运用等“做数学”活动中表现出来的自主性、独创性等品质进行评价，使学生获得情感体验，增强学习数学的自信心。第二，对学生解决问题的过程及角度进行评价，使学生对解决问题的过程及角度进行反思，从而获得解决问题的经验和方法。